Estimating the Expected Reversal Distance after a Fixed Number of Reversals

We address the problem of computing the expected reversal distance of a genome with n genes obtained by applying t random reversals to the identity. A good approximation is the expected transposition distance of a product of t random transpositions in Sn. Computing the latter turns out to be equivalent to computing the coefficients of the length function (i.e. the class function returning the number of parts in an integer partition) when written as a linear combination of the irreducible characters of Sn. Using symmetric functions theory, we compute these coefficients, thus obtaining a formula for the expected transposition distance. We also briefly sketch how to compute the variance. Résumé. Nous posons le problème du calcul de la distance de renversement attendue d’un génome de n gènes obtenue en appliquant t renversements aléatoires de l’identité. Une bonne approximation est la distance de transposition attendue d’un produit de t transpositions aléatoires dans Sn. Calculer cette dernière apparait comme étant équivalent à calculer les coefficients de la fonction de longueur (i.e. la fonction de classe qui retourne le nombre de parts dans une partition d’entiers) lorsqu’elle est exprimée comme combinaison linéaire de caractères irréductibles de Sn. En utilisant la théorie des fonctions symétriques, nous calculons ces coefficients, et obtenons une formule pour la distance de transposition attendue. Nous expliquons également brièvement comment calculer la variance.